Matematika Dasar 1

Persamaan Kuadrat

Persamaan Linear (berderajat satu)

Persamaan linear satu variabel

persamaan linear satu variabel adalah persamaan yang didefinisikan sebagai \[ax+b=0,\hspace{1cm}a,b\in R,\hspace{0.3cm}a\neq 0\] dengan x adalah variabel, a adalah koefisien dari x dan b adalah konstanta.

Persamaan linear dua variabel

persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang didefinisikan sebagai \[ax+by+c=0, \hspace{1cm}a,b,c\in R,\hspace{0.3cm}a,b\neq 0\\] dimana a adalah koefisien dari x, b adalah koefisien dari y, dan c adalah konstanta persamaan.

Membentuk Persamaan Garis

• Jika diketahui dua titik A(x_A,y_A) dan B(x_B,y_B) maka persamaan garis melalui AB adalah \[\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}\] Contoh: Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(9,6) dan B(7,8)
  Jawab
  Diketahui x_A=9, y_A=6, x_B=7, dan y_B=8 sehingga \[\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}\\ \frac{y-6}{8-6}=\frac{x-9}{7-9}\\ \frac{y-6}{2}=\frac{x-9}{-2}\\ -2(y-6)=2(x-9)\\ -2y+12=2x-18\\ -2y=2x-30\\ -y=x-15\\ x+y=15 \] Jadi persamaan yang dihasilkan adalah x+y=15


• Jika diketahui gradien m dan titik yang dilalui (x₀,y₀), maka persamaan garisnya adalah \[y-y_0=m(x-x_0)\] Contoh: Tentukan persamaan garis yang bergradien 2 dan melalui titik (2,5)
  
  Jawab
  \[y-y_0=m(x-x_0)\\ y-5=2(x-2)\\ y=2x-4+5\\ y=2x+1\]

Persamaan Kuadrat (Berderajat dua)

Bentuk umum persamaan kuadrat dengan variabel x adalah \[ax^2+bx+c=0\hspace{1cm}a,b,c\in R,\hspace{1cm}a,b,c\neq 0\] Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan ax²+bx+c=0, maka jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut berturut-turut adalah \[x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1x_2=\frac{c}{a}\]

Diskriminan Persamaan Kuadrat 

Diskriminan persamaan kusadrat (D) dari persamaan f(x): ax²+bx+c=0 adalah \[D=b^2-4ac\]

• Jika D>0 maka f(x) memiliki akar-akar real yang berlainan
• Jika D<0 maka f(x) memiliki akar-akar imajiner
• Jika D=0 maka f(x) memiliki akar-akar kembar

Langkah-langkah menggambar grafik persamaan kuadrat

• Jika a>0 maka kurva parabola terbuka ke atas, dan jika a<0 maka kurva parabola terbuka ke bawah
• Titik potong dengan sumbu x, syarat y=0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax²+bx+c=0
• Titik potong dengan sumbu y, syarat x=0 maka diperoleh (0,c)
• Titik ekstrim diperoleh dari \[x=\frac{-b}{2a},\hspace{1.5cm}y=\frac{b^2-4ac}{-4a}\]

Contoh: Gambarkan kurva y=x²-1

Jawab

1. Dari persamaan terlihat bahwa a=1, b=0, dan c=-1. Karena a=1>0 maka kurva terbuka ke atas.


2. Selanjutnya tentukan titik potong dengan sumbu X, yaotu dengan membuat y=0. maka
   \[y=0\\ \hspace{0.5cm}\\ x^2-1=0\\ \hspace{0.5cm}\\ (x-1)(x+1)=0\] didapat x=1 dan x=-1
   maka titik potong dengan sumbu x adalah (1,0) dan (-1,0).


3. Titik potong dengan sumbu y, dengan membuat x=0, maka didapat y=-1.
   sehingga titik potong dengan sumbu y adalah (0,-1).


4. Menentukan titik ekstrim
   \[x=\frac{-b}{2a}=\frac{0}{2\times 1}=0\\ \hspace{1cm}\\ y=\frac{b^2-4ac}{-4a}=\frac{0-4(1)(-1)}{-4(1)}=-1\] Jadi titik ekstrimnya adalah (0,-1).

Sehingga kurva yang didapat seperti berikut

Soal-soal

1. Kuadrat satu bilangan dikurangi dengan bilangan itu sendiri hasilnya adalah 56. Tentukan bilangan tersebut.


2. Suatu kebun berbentuk persegi panjang dengan panjang 80m dan lebar 40m. Di sebelah luar sekeliling kebun tersebut dibangun jalan seluas 1300m². Tentukanlah lebar jalan tersebut.


3. Kuadrat suatu bilangan dikurangi dengan empat kali bilangan tersebut adalah 140. Tentukan bilangan tersebut.


4. Hasil kali dua bilangan ganjil yang berurutan adalah 143. Tentukanlah bilangan-bilangan tersebut.


5. Jumlah kuadrat dua bilangan bulat yang berurutan adalah 85. Tentukan kedua bilangan tersebut.


6. Panjang suatu persegi panjang adalah 2m lebih panjang dari lebarnya. Jika luasnya 960m², tentukanlah panjang persegi panjang tersebut.


7. Tentukan himpunan penyelesaian dari x³-x²-6x=0


8. Tentukan himpunan penyelesaian dari x³-x²-x+1=0


9. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x³-5x²-x+6=0


10. Sepotong kawat panjangnya 60cm, dibengkokkan sehingga terbentuk segitiga siku-siku yang panjang sisi miringnya 16cm. Tentukan luas segitiga tersebut.


11. Jumlah dari tiga bilangan bulat yang berurutan adalah 24. Carilah bilangan-bilangan tersebut.


12. Jumlah dari dua bilangan adalah 21, dan salah satu bilangan tersebut adalah dua kali bilangan lainnya. Carilah bilangan-bilangan tersebut.


13. Empat kali suatu bilangan tertentu dikurangi 10 adalah 14. Tentukan bilangan tersebut.


14. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan 2x²+6x+7=0


15. Jika x₁ dan x₂ merupakan akar-akar persamaan x²+2x+3=0. Tentukan:
    \[(x_1+2)(x_2+2),\hspace{1.5cm} \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\]


16. Salah satu faktor persamaan x³-x²-22x+n=0 adalah (x-2). Tentukan faktor yang lainnya.


17. Faktorkanlah persamaan x³+2x²-x-2=0

Share this post

Berlangganan update artikel terbaru via email: