Matematika Keuangan 3

Force of Interest $(\delta(t))$

Force of Interest $(\delta(t))$ disebut juga sebagai tingkat bunga nominal yang convertible sesaat, didefinisikan sebagai berikut: \[\delta(t)=\lim_{h\rightarrow 0}i_h(t)=\lim_{h\rightarrow 0}\left[ \frac{A(t,t+h)-1}{h} \right]\]

Teorema

Jika $\delta(t)$ dan $A(t_0,t)$ adalah fungsi kontinu dari $t$ untuk $t\geq t_0$, dan prinsip konsistensi berlaku, maka untuk $t_0\leq t_1\leq t_2$, maka \[A(t_1,t_2)=\exp \left[ \int_{t_1}^{t_2}\delta(t)dt \right]\]

Contoh:

Misalkan $\delta(t)$ diberikan oleh

$\delta(t)=\delta$
$\delta(t)=a+bt$

Tentukan formula untuk akumulasi pada saat $t_2$ dari investasi sebesar 1 satuan yang dilakukan pada saat $t_1$.

Jawab

$A(t_1,t_2)=\exp[\delta(t_2-t_1)]$
\[A(t_1,t_2)=\exp\left[ \int_{t_1}^{t_2}(a+bt)dt \right]=\exp\left[ \left( at_2+\frac{1}{2}bt_2^2 \right)-\left( at_1+\frac{1}{2}bt_1^2 \right) \right]\]

Pada kasus $delta(t)=\delta \forall t$ maka \[A(t_0,t_0+n)=e^{\delta n}, \hspace{0.5cm}\forall t_0,n\geq 0\]

Contoh:

Misalkan $\delta =1.12, \forall t$. Hitunglah tingkat bunga nominal per tahun dari deposito selama 7 hari.

Jawab

Untuk $h=\frac{7}{365}$ , maka besar bunga nominal adalah \[i_h(t)=\frac{\exp(0.12(\frac{7}{365})-1)}{\frac{7}{365}}=12.01%\]

Nilai Kini (Present Value ($PV$)

Misalkan $t_1\leq t_2$, maka nilai kini pada saat $t_1$ dari dana sebesar $C$ pada $t_2$ adalah \[PV=C\exp\left[ -\int_{t_1}^{t_2}\delta(t)dt \right]\] Secara khusus, nilai kini pada saat 0 dari dana sebesar 1 satuan pada saat $t$ didefinisikan sebagai $v(t)$ adalah \[v(t)=\exp\left[ -\int_{t_1}^{t_2}\delta(s)ds \right]\]

Contoh:

Misalkan diberikan force of interest sebagai berikut:
\[\delta = \left\{ \begin{matrix}0.09\hspace{0.1cm} untuk\hspace{0.1cm} 0\leq t\leq 5\\ 0.08\hspace{0.1cm} untuk\hspace{0.1cm} 5\leq t\leq 10\\ 0.07\hspace{0.1cm} untuk\hspace{0.1cm} t\geq 10 \end{matrix} \right. \]
Jawab

\[ \begin{align*} v(t) &= \left\{ \begin{matrix}e^{-\int_{o}^{t}0.09ds}\\ e^{-\int_{o}^{5}0.09ds-\int_{5}^{t}0.08ds}\\ e^{-\int_{o}^{5}0.09ds-\int_{5}^{10}0.08ds-\int_{10}^{t}0.07ds}\end{matrix} \right.\\ &= \left\{ \begin{matrix}e^{-0.09t}\\ e^{-0.08t-0.05}\\ e^{-0.07t-0.15}\end{matrix} \right. \end{align*} \]

Formula Stoodley

Formula Stoodley didefinisikan sebagai \[\delta(t)=p+\frac{s}{1+re^{st}}\] dengan $p,r$ dan $s$ adalah parameter. Menggunakan formula force of interest untuk menentukan nilai kini. \[v(t)=\exp\left[ -\int_{0}^{t}\delta(s)ds \right]\\ =\exp\left[ -\int_{0}^{t}p+\frac{s}{1+re^{st}}ds \right]\\ =\frac{1}{1+r}v_1^t+\frac{r}{1+r}v_2^t\] dengan $v_1=e^{-(p+s)}$ dan $v_2=e^{-p}$

Contoh:

Misalkan diberikan nilai parameter pada formula stoodley sebagai berikut: $p=0.076961, r=0.5$, dan $s=0.121890.$ sehingga \[ \delta(t)=0.076061+\frac{0.121890}{1+0.5e^{0.121890t}} \] Tentukan formula untuk $v(t)$, dan gunakan formula stoodley untuk menghitung nilai kini untuk dana sebesar 1 satuan yang jatuh tempo 10 tahun kemudian.

Jawab

\[ \begin{align*} v(t) &= \frac{1}{1+r} v_1^t + \frac{r}{1+r} v_2^t\\ &= \frac{1}{1+r} e^{-(p+s)} + \frac{r}{1+r} e^{-p}\\ &= 0.24566 \end{align*} \]

Matematika Keuangan 3