Matematika Keuangan 5

Matematika Keuangan 5

www.yoalearn.site

Hubungan antar variabel

$\delta$ $i$ $v$ $d$
$ \delta $ $e^{\delta -1}$ $e^{-\delta}$ $1- e^{-\delta}$
$ i $ $\ln(1+i)$ $(1+i)^{-1}$ $i(1+i)^{-1}$
$ v $ $-\ln(v)$ $v^{-1}-1$ $1-v$
$ d $ $-\ln(1-d)$ $(1-d)^{-1}-1$ $1-d$
dimana:

$\delta =$ force of interest
$i=$ Tingkat suku bunga
$v=$ Nilai kini
$d=$ Tingkat diskon

Persamaan Nilai dan Yield Suatu Transaksi

Yield merupakan tingkat bunga yang membuat nilai pemasukan sama dengan nilai pengeluaran.

Persamaan yield atau persamaan nilai
\[\sum_{r=1}^{n}C_{t_r}(1+i)^{-t_r}\]
Jika terdapat pembayaran kontinu, maka persamaan nilai menjadi \[\sum_{r=1}^{n}C_{t_r}e^{-\delta t_r} + \int_{0}^{\infty}\rho(t)e^{-\delta t_r}dt = 0\]

Teorema

Untuk setiap transaksi di mana seluruh arus kas negatif mendahului seluruh arus kas positif, maka persamaan yield terdefinisi baik (memiliki solusi)
Teorema

Misalkan $t_0<t_1<...<t_n$ dan arus kas bersih investor pada saat $t_i$ sebesar $c_{t_i}$ (dengan sebagian nilai ${c_{t_i}}$ bernilai positif dan sebagian bernilai negatif). Untuk $i=0,1,...,n$, misalkan $A_i=\sum_{r=0}^{i}c_{t_r}$, sehingga $A_i$ menyatakan akumulasi total yang diterima investor sampai dengan $t_i$. Misalkan pula $A_0$ dan $A_n$ keduanya taknol, dengan menghilangkan $A_i$ yang bernilai nol, dan jika ${A_0,A_1,...,A_n}$ memiliki tepat 1 perubahan tanda, maka persamaan yield memiliki tepat satu solusi positif.

Contoh:

Misalkan sebagai pengembalian atas modal sebesar $\$$500 yang diberikan oleh investor pada $t=0$ dan sebesar $\$$200 dua tahun kemudian, investor tersebut akan mendapatkan sebesar $\$$1000 setelah 5 tahun. Hitunglah yield dari transaksi tersebut.
Jawab
Persamaan nilai (pada $t=0$) untuk transaksi tersebut adalah \[f(i)=-500-200(1+i)^{-2}+1000(1+i)^{-5}=0\] Dari teorema, persamaan tersebut memiliki akar positif yang tunggal. Nilai i didapat dari menerka-nerka sedemikian hingga mendapat nilai $i_1>0$ dan $i_2<0$ (hasil yang didapat $i_1=0.08$ dan $i_2=0.09$). Diperoleh juga $f(0.08)=9.115$ dan $f(0.09)=-18.405$, maka yield berada antara 8% dan 9% per tahun. Dengan interpolasi linear, diperoleh \[i=0.08+(0/09-0/08)\frac{9.115-0}{9.115-(-18.405)}=0.083\] Jadi yield dari transaksi ini adalah 8.3%

Contoh:

sebagai pengembalian atas hutang sebesar $\$$100, peminjam sepakat untuk mengembalikan sebesar $\$$110 setelah 7 bulan. Hitunglah
  1. Tingkat bunga per tahun.
  2. Tingkat diskon per tahun.
  3. Force of interest per tahun.
  4. Sesaat setelah menerima pinjaman, peminjam meminta agar diijinkan mengembalikan sebesar $\$$50 pada waktu yang telah dijanjikan, dan memberikan pembayaran kedua pada saat 6 bulan setelah waktu tersebut. Misalkan pemberi pinjaman sepakat dengan pembayaran ini dengan tingkat bunga sebesar tingkat bunga pada kesepakatan awal. Hitunglah besarnya pembayaran kedua tersebut.

Jawab
  1. Tingkat bunga per tahun \[\begin{align*} A &= C(1+i)^n\\ 110 &= 100(1+i)^{\frac{7}{12}}\\ 1.1 &= (1+i)^{\frac{7}{12}}\\ 1.1^{\frac{12}{7}} &= (1+i)\\ i &= 17.75\% \end{align*}\]
  2. Tingkat diskon per tahun \[\begin{align*} d &= 1-v\\ &= 1-(1+i)^{-1}\\ &= 1-(1+0.1775)^{-1}\\ &= 15.07\% \end{align*}\]
  3. Force of interest per tahun \[\begin{align*} \delta &= \ln(1+i)\\ &= \ln(1+0.1775)\\ &= 16.34 \end{align*}\]
  4. Besar pembayaran kedua \[\begin{align*} 100e^{\frac{13}{12}} &= 50e^{\frac{6}{12}}+X\\ X &= 100e^{\frac{13}{12}} - 50e^{\frac{6}{12}}\\ X &= \$65.11 \end{align*}\]

Berlangganan update artikel terbaru via email:

0 Response to "Matematika Keuangan 5"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel