Perhitungan Nilai Pasti, Nilai Kini, dan Akumulasi

Perhitungan Nilai Pasti, Nilai Kini, dan Akumulasi
Matematika Keuangan 6



immediate annuity-certain

immediate annuity-certain, dinotasikan sebagai $a_{\bar{n|}}$ dimana $n$ adalah banyaknya pembayaran, merupakan nilai dari rangkaian pembayaran 1 satuan waktu sebelum pembayaran pertama dilakukan. \[a_\bar{n|}=v+v^2+...+v^n=\frac{1-v^n}{i}\]

annuity-due 

annuity-due,dinotasikan dengan $\ddot{a}_\bar{n|}$, merupakan nilai rangkaian pembayaran pada saat pembayaran pertama dilakukan \[\ddot{a}_\bar{n|}=1+v+v^2+...+v^{n-1}=\frac{1-v^n}{d}\]

Nilai dari rangkaian pembayaran tersebut pada saat pembayaran terakhir dilakukan, dinotasikan dengan $S_\bar{n|}$, sebesar \[S_\bar{n|}=(1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+...+1=\frac{(1+i)^n-1}{i}\]
Nilai pada 1 satuan waktu setelah pembayaran terakhir dilakukan, dinotasikan dengan $\ddot{S}_\bar{n|}$, sebesar \[\ddot{S}_\bar{n|}=(1+i)^{n}+(1+i)^{n-1}+...+(1+i)=\frac{(1+i)^n-1}{d}\]

Ilustrasi

www.yoalearn.site


Hubungan antar formula 

\[\ddot{a}_\bar{n|}=(1+i)a_\bar{n|}\] Dan untuk $n\geq 2$ \[\begin{align*} \ddot{a}_\bar{n|} &= 1+a_\bar{n-1|}\\ \ddot{S}_\bar{n|} &= 1+S_\bar{n-1|}\\ \S_\bar{n+1|} &= 1+\ddot{S}_\bar{n|}\\ \ddot{S}_\bar{n|} &= S_\bar{n+1|}-1\\ \end{align*}\]

Sifat-sifat anuitas

Untuk $n$ tetap, maka
  • $a_\bar{n|}$ dan $\ddot{a}_\bar{n|}$ adalah fungsi turun dalam $i$
  • $S_\bar{n|}$ dan $\ddot{S}_\bar{n|}$ adalah fungsi naik dalam $i$
Untuk $i$ tetap, $a_\bar{n|}$, $\ddot{a}_\bar{n|}$, $S_\bar{n|}$ dan $\ddot{S}_\bar{n|}$ adalah fungsi naik dalam $n$. Untuk $n\rightarrow \infty$, perpetuitas due, dinotasikan sebagai $a_\bar{\infty |}$ dan $\ddot{a}_\bar{\infty |}$, sebesar \[\begin{align*} a_\bar{\infty |} &= \lim_{n\rightarrow \infty} a_\bar{n|} = \frac{1}{i}\\ \ddot{a}_\bar{\infty |} &= \lim_{n\rightarrow \infty} \ddot{a}_\bar{n|} = \frac{1}{d} \end{align*}\]

Contoh

  1. Pinjaman sebesar $\$$2400 harus dikembalikan dalam bentuk 20 pembayaran seragam tahunan. Tingkat suku bunga sebesar 10% per tahun. Hitung besarnya pembayaran tahunan jika pembayaran dilakukan pada: (1) akhir tahun, (2) awal tahun.

    Jawab

    www.yoalearn.site
    Pembayaran pada awal tahun \[\begin{align*} 2400 &= X\ddot{a}_\overline{20|i=10%}\\ X &= \frac{2400}{\ddot{a}_\overline{20|i=10%}}\\ X &= \frac{2400}{(1+i)a_\overline{20|i=10%}}\\ \end{align*}\] hitung terlebih dahulu $a_\overline{20|i=10%}$, yaitu \[a_\overline{20|i=10%}=\frac{1-v^{20}}{0.1}=8.5136\] maka \[\begin{align*} X &= \frac{2400}{(1+i)a_\overline{20|i=10%}}\\ X &= \frac{2400}{(1.1)8.5136}\\ X &= 256.27 \end{align*}\] Jadi pembayaran pada awal tahun sebesar $\$$256.27

    Pembayaran pada akhir tahun \[\begin{align*} 2400 &= Xa_\overline{20|i=10%}\\ X &= \frac{2400}{a_\overline{20|i=10%}}\\ X &= \frac{2400}{8.5136}\\ X &= 294.35 \end{align*}\] Jadi pembayaran pada awal tahun sebesar $\$$294.35

  2. Setiap tanggal 15 November, dari tahun 1964 hingga tahun 1979, seorang investor menabung sebesar $\$$500. Pada 15 November 1983 investor tersebut menarik seluruh tabungannya. Jika bank memberikan bunga sebesar 7% per tahun, hitunglah jumlah uang yang ditarik investor tersebut.

    Jawab

    www.yoalearn.site
    Besar akumulasi dana yang ditarik investor tersebut adalah \[\begin{align*} A &= 500S_\overline{16|i=7%}(1+i)^4\\ &= 500\left( \frac{(1+0.07)^{16}-1}{0.07} \right) (1+0.07)^4\\ &= \$18,277.81 \end{align*}\]

  3. Seorang nasabah sepakat untuk mengembalikan pinjaman sebesar $\$$3000 dengan 15 pembayaran tahunan sebesar $\$$500. Pembayaran pertama dilakukan setelah 5 tahun. Hitunglah yield tahunan untuk transaksi ini.

    Jawab

    www.yoalearn.site
    \[3000=500a_\overline{10|i=?}v^4\] yang ditanyakan adalah $i$ yang memenuhi persamaan tersebut. \[3000-500a_\overline{10|}v^4=0\] atau \[f(i)=3000-500\left( \frac{1-(1+i)^{-4}}{i} \right)(1+i)^{-4}=0\] dengan menerka-nerka dua nilai $i$ yang menyebabkan nilai $f(i)$ satu bernilai positif dan satu lagi bernilai negatif. Didapat \[\begin{align*} f(0.08) &= -1.457\\ f(0.09) &= 1.44 \end{align*}\] Kemudian diinterpolasi untuk mendapat nilai $i$. misalkan \[\begin{align*} x_1=0.08 & y_1=-1.457\\ x_2=0.09 & y_2=1.44 \end{align*}\] sehingga \[i=0.08+(0.09-0.08)\left( \frac{1.44}{1.44+1.457} \right) =0.0849=8.49%\]



Berlangganan update artikel terbaru via email:

0 Response to "Perhitungan Nilai Pasti, Nilai Kini, dan Akumulasi"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel