Anuitas tunda, Anuitas kontinu dan Anuitas bervariasi

Matematika Keuangan 7

https://www.yoalearn.site/2019/06/anuitas-tunda-anuitas-kontinu-dan.html

Anuitas tunda (deferred annuities)

Misalkan $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat taknegatif. Nilai pada $t=0$ dari $n$ pembayaran, masing-masing sebesar 1, yang jatuh tempo pada $(m+1),(m+2),…,(m+n)$ dinotasikan dengan $_m|a_\overline{n|}$ \[\begin{align*} _m|a_\overline{n|} &= v^{m+1}+v^{m+2}+...+v^{m+n}\\ &= v^m(v+v^2+...+v^n)\\ &= v^ma_\overline{n|}\\ &= a_\overline{m+n|}-a_\overline{m|} \end{align*}\] Sehingga diperoleh \[a_\overline{m+n|}=a_\overline{m|}+v^ma_\overline{n|}\]

Anuitas kontinu

Misalkan $n$ adalah bilangan taknegatif. Nilai pada $t = 0$ dari anuitas yang dibayarkan kontinu pada $t = 0$ sampai $t = n$, dengan tingkat pembayaran konstan sebesar 1, dinotasikan dengan $\bar{a}_\overline{n|}$, sebesar \[\begin{align*} \bar{a}_\overline{n|} &= \int_{0}^{n}e^{-\delta t}dt\\ &=\frac{1-v^n}{\delta} \end{align*}\] Hubungan antara $\bar{a}_\overline{n|}$ dan $a_\overline{n|}$ yaitu \[\begin{align*} \bar{a}_\overline{n|} &= \frac{1-v^n}{\delta}\\ &= \frac{1-v^n}{\delta}\times \frac{i}{i}\\ &= \frac{1-v^n}{i}\times \frac{i}{\delta}\\ &= \frac{i}{\delta}a_\overline{n|} \end{align*}\] Sedangkan nilai dari anuitas kontinu tunda sebesar \[\begin{align*} _m|a_\overline{n|} &= \int_{m}^{m+n}e^{-\delta t}dt\\ &= \int_{0}^{m+n}e^{-\delta t}dt - \int_{0}^{m}e^{-\delta t}dt\\ &= \bar{a}_\overline{m+n|} - \bar{a}_\overline{m|}\\ &= v^m\bar{a}_\overline{n|}\\ \end{align*}\]

Anuitas bervariasi

Secara umum, nilai kini dari sebarang anuitas adalah sebesar \[\sum_{i=1}^{n}X_iv^{t_i}\] Dengan pembayaran ke-i sebesar $X_i$ dilakukan pada waktu $t_i$. Untuk kasus khusus $X_i=t_i=i$, anuitas tersebut disebut sebagai anuitas naik dan nilai kininya dinotasikan dengan $(Ia)_\overline{n|}$ sehingga \[(Ia)_\overline{n|}=v+2v^2+3v^3+...+nv^n=\frac{\ddot{a}_\overline{n|}-nv^n}{i}\] dan \[\begin{align*} (I\ddot{a})_\overline{n|} &= 1+2v^2+...+nv^{n-1}\\ &= (1+i)(Ia)_\overline{n|}\\ &= 1+a_\overline{n-1|}+(Ia)_\overline{n-1|} \end{align*}\]

Anuitas bervariasi kontinu

Tingkat pembayaran konstan sebesar $r$ pada periode ke-$r$, dinotasikan dengan $(I\bar{a})_\overline{n|}$. Nilai kini untuk kasus ini sebesar \[(I\bar{a})_\overline{n|}=\sum_{r=1}^{n}\left( \int_{r-1}^{r}rv^t dt=\frac{\ddot{a}_\overline{n|}-nv^n}{\delta} \right)\] Tingkat pembayaran sebesar $t$ pada waktu $t$, dinotasikan dengan $(\bar{I}\bar{a})_\overline{n|}$. Nila kini untuk kasus ini yaitu sebesar \[(\bar{I}\bar{a})_\overline{n|}=\int_{0}^{t}tv^t dt=\frac{\bar{a}_\overline{n|}-nv^n}{\delta}\]

Akumulasi bervariasi

\[\begin{align*} (Is)_\overline{n|} &= (1+i)^n (Ia)_\overline{n|}\\ (I\ddot{s})_\overline{n|} &= (1+i)^n (I\ddot{a})_\overline{n|}\\ (I\bar{s})_\overline{n|} &= (1+i)^n (I\bar{a})_\overline{n|}\\ (\bar{I}\bar{s})_\overline{n|} &= (1+i)^n (\bar{I}\bar{a})_\overline{n|}\\ \end{align*}\] Sedangkan anuitas tunda bervariasi menjadi sebesar \[_m|(Ia)_\overline{n|}=v^m(Ia)_\overline{n|}\]

contoh

Anuitas dibayarkan tahunan di akhir periode selama 20 tahun. Pembayaran pertama sebesar $\$$8000 dan berkurang sebesar $\$$300 setiap tahun. Hitunglah nilai kini dari anuitas tersebut jika tingkat bunga sebesar 5% per tahun.

Jawab

  • Cara 1

    Misalkan nilai kini tersebut sebesaer $X$. Maka \[X=8000v+7700v^2+7400v^3+...+2300v^20\] dan \[(1+i)X=8000+7700v+7400v^2+...+2300v^19\] sehingga didapat nilai $X$ \[X=\frac{8000-300a_\overline{19|}-2300v^{20}}{i}=\$70151\]
  • Cara 2

    Anggaplah bahwa anuitas ini sebagai anuitas pasti sebesar $\$$8300 per tahun dikurangi anuitas bervariasi dengan pembayaran ke-$r$ sebesar $\$$300r. Sehingga \[\begin{align*} X &= 8300(v+v^2+...+v^20 )-300(v+2v^2+3v^3+...+20v^20 )\\ &= 8300a_\overline{20|}-300(Ia)_\overline{20}\\ &= \$70151 \end{align*}\]
Coba kerjakan satu latihan ini:
Andi ingin merencanakan masa depannya sebaik-baiknya. Untuk itu, dia membeli asuransi pendidikan yang mengharuskannya membayar premi tahunan selama 10 tahun sebesar $\$$1000 per tahun. Untuk premi tersebut, Andi akan menerima pembayaran sebesar $X$ per tahun untuk biaya kuliahnya selama empat tahun yang dibayarkan dua tahun setelah premi terakhir dibayarkan. Jika suku bunga yang digunakan bank adalah sebesar 10% per tahun, hitunglah pembayaran tahunan yang diterima Andi.

Berlangganan update artikel terbaru via email:

0 Response to "Anuitas tunda, Anuitas kontinu dan Anuitas bervariasi"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel