Riset operasi : Optimisasi

Riset Operasi 1
Optimisasi

www.yoalearn.site

Optimasi adalah suatu proses pencapaian kondisi terbaik yang memberikan nilai minimum atau maksimum dari suatu fungsi yang dibatasi oleh keadaan-keadaan tertentu. Secara umum masalah optimasi dapat diformulasikan sebagai berikut:
Tentukan \[x = \left[\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ . . . x_n \end{matrix}\right]\] yang dapat meminimumkan $f(x)$ sedemikian hingga beberapa persamaan kendala terpenuhi, kendala-kendala tersebut adalah:
  1. $g_j(x)\leq 0$, untuk $j=1,2,3,...,m$
  2. $h_i(x)=0$, untuk $i=1,2,3,...,p$
dimana $x$ adalah vektor berdimensi $n$ yang disebut variabel keputusan, $f(x)$ adalah fungsi objektif, dan $g_j(x)$ dan $h_i(x)$ adalah fungsi-fungsi kendala. $n$ adalah banyaknya variabel, sedangkan $m$ dan $p$ adalah banyaknya fungsi kendala.
Riset operasi adalah cabang dari matematika terapan yang mempunyai fokus kajian pada penerapan metode ilmiah dan teknik pengambilan keputusan dengan menentukan solusi optimalnya. Metode pencarian solusi optimal disebut teknik pemrograman matematika atau dikenal sebagai teknik optimasi, yang secara umum merupakan bagian dari riset operasi. Metode riset operasi diantaranya program linear, teori antrian, amalisis regresi, dan sebagainya.
Masalah optimisasi diklasifikasikan berdasarkan jenis fungsi yang terlibat, yaitu Nonlinear programming, Convex programming, Linear programming, Integer programming dan Flow and matching.



Teorema

\[min \hspace{0.5cm} f(x)\] \[s.t\hspace{0.5cm}x\in S\] Jika $S$ adalah himpunan konveks, $f:S\rightarrow R$ adalah fungsi konveks dan $\bar{x}$ adalah titik minimum lokal untuk masalah (Convex Programming) maka $\bar{x}$ adalah titik minimum global dari $f(x)$ pada himpunan $S$ 


Teorema

Misalkan $S$ adalah himpunan buka yang konveks dan $f(x)$ adalah fungsi yang diferensiabel. Maka $f(x)$ adalah fungsi konveks jika dan hanya jika memenuhi kondisi gradien berikut \[f(y)\geq f(x)+\nabla f(x)^T(y-x),\forall x,y\in S\] 


Teorema

Misalkan $S$ adalah himpunan buka yang konveks dan $f:S\rightarrow R$ dapat diturunkan dua kali. Misal $H(x)$ adalah Hessian dari $f$. Fungsi $f(x)$ adalah konveks jika dan hanya jika $H(x)$ adalah positif semidefinite untuk semua $x\in R$ 


Teorema

Misalkan $f:S\rightarrow R$ konveks dan dapat diturunkan di $X$. Titik $\bar{x}\in X$ minimum global jika dan hanya jika $\nabla f(\bar{x})=0$ 

Aljabar dari himpunan konveks

  • Jika $C$ merupakan himpunan konveks di $R^n$ maka demikian pula setiap translasi $C+a$ dan untuk setiap operasi perkalian dengan skalar $\lambda C$, dimana \[\lambda C=\{\lambda x:x\in C\}\]
  • Secara geometri, jika $\lambda \gt 0$, $\lambda C$ adalah pemetaan dari $C$ dengan transformasi yang memperluas $R^n$ dengan faktor $\lambda$ dengan titik asal yang tetap
  • Sebuah himpunan konveks dikatakan symetric jika $-C=C$

Aljabar dari pemrograman linear

Dalam bentuk matriks: \[min \hspace{0.5cm}c^Tx\] \[s.t \hspace{0.5cm}Ax\geq b\] \[x\geq 0\] dimana \[x=\left[\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ . . . x_n \end{matrix}\right], b=\left[\begin{matrix} b_1\\ b_2\\ . . . b_n \end{matrix}\right], c=\left[\begin{matrix} c_1\\ c_2\\ . . . c_n \end{matrix}\right], A=\left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}& ...& a_{2n}\\ . . . a_{m1} & a_{m2}& ...& a_{mn}\\ \end{matrix}\right] \]

Berlangganan update artikel terbaru via email:

0 Response to "Riset operasi : Optimisasi"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel