Bilangan Riil dan Ketaksamaan

Pendahuluan Matematika Dasar

Sistem Bilangan Real dan Ketaksamaan

bilangan riil dan ketaksamaan

Pada kesempatan kali ini akan dibahas materi pada Matematika Dasar. Penjelasan akan dibuat dalam pembahasan soal dan teori. Selamat belajar.

Sistem Bilangan Riil

Bilangan Riil merupakan sekumpulan bilangan (rasional dan tak rasiona, negatif, positif dan nol.). Bilangan riil memenuhi sifat medan dan sifat urutan.
Sifat Medan
  1. Hukum Komutatif
    $x+y=y+x$ dan $xy=yx$
  2. Hukum Asosiatif
    $x+(y+z)=(x+y)+z$ dan x(yz)=(xy)z$
  3. Hukum distribusi
    $x(y+z)=xy+xz$
  4. Memiliki elemen Identitas
    Terdapat dua bilangan riil yang berlainan yaitu 0 dan 1 yang memenuhi $x+0=x$ dan $x\times 1=1$
  5. Memiliki Invers
    Setiap bilangan $x$ mempunyai balikan aditif, $-x$, yang memenuhi $x+(-x)=0$. Juga setiap bilangan $x$ kecuali 0 memiliki balikan perkalian, $x^{-1}$, yang memenuhi $x\times x^{-1}=1$
Sifat-sifat urutan
  1. Trikotomi
    Jika $x$ dan $y$ adalah bilangan-bilangan, maka pasti satu di antara yang berikut berlaku: $x<y$ atau $x=y$ atau $x>y$.
  2. Ketransitifan
    $x<y$ dan $y<z$ maka $x<z$
  3. Penambahan
    $x<y$ maka $x+z<y+z$
  4. Perkalian. Bilangan $z$ positif, $x<y$ maka $xy<yz$. Jika $z$ negatif, $x<y$ maka $xz>yz$.
Teoremabr/> Jumlah dari suatu bilangan rasional dan bilangan tak rasional adalah tak rasional.

Contoh: (Coba cari jalannya ya, bagaimana cara mendapatkan hasilnya. SUpaya teman-teman mengerti.)
  • $4-3(8-12)-6=4-24+36-6=10$
  • $2[3-2(4-8)]=22$
  • $\frac{5}{6}-\left(\frac{1}{4}+\frac{2}{3}\right)=-\frac{1}{6}$
  • $\frac{3}{4}-\left( \frac{7}{12}-\frac{2}{9} \right)=-\frac{1}{18}$
  • $\frac{14}{33}\left( \frac{2}{3}-\frac{1}{7} \right)^2=\frac{22}{189}$
  • $\frac{\frac{5}{7}+\frac{7}{9}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{188}{189}$
  • $\frac{\frac{1}{2}-\frac{3}{4}+\frac{7}{8}}{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{7}{8}}=\frac{5}{3}$
  • $1-\frac{2}{2+\frac{3}{4}}=\frac{3}{11}$
  • $(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})=-1$
  • $3\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{8})=-6$
  • $\left( \frac{5}{6}+\frac{1}{3} \right)^{-2}=\frac{36}{49}$
  • $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{5}{2\sqrt{2}}\right)^{-2}=\frac{8}{9}$

Tentukan cara dari penyederhanaan persamaan-persamaan berikut (Jadi cari jalannya dari mana hasilnya didapat):
  1. $(2x-3)(2x+3)=4x^2-9$
  2. $(2t-1)^3=8t^3-12t^2+6t-1$
  3. $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$
  4. $\frac{18}{x^2+3x}-\frac{4}{x}+\frac{6}{x+3}=\frac{2}{x}$
  5. $\frac{x^2+x-6}{x^2-1}\times \frac{x^2+x-2}{x^2+5x+6}=\frac{x-2}{x+1}$
  6. $\frac{\frac{x}{x-3}-\frac{2}{x^2-4x+3}}{\frac{5}{x-1}+\frac{5}{x-3}}=\frac{1}{10}x+\frac{1}{10}$


Teorema
Jika $a>0$ dan $b>0$ maka:
  • $a<b \leftrightarrow a^2<b^2$
  • $a<b \leftrightarrow \frac{1}{a}>\frac{1}{b}$
Teorema
\[a<b \leftrightarrow a<\frac{a+b}{2}<b\]


Ketaksamaan

Penulisan Himpunan\hspace{1cm} Penulisan Selang\hspace{1cm}
$\{x:a<x<b\}$ $(a,b)$
$\{x:a\leq x\leq b\}$ $[a,b]$
$\{x:a\leq x< b\}$ $[a,b)$
$\{x:a< x\leq b\}$ $(a,b]$
$\{x:x\leq b\}$ $(-\infty ,b]$
$\{x:x< b\}$ $(-\infty ,b)$
$\{x:x\geq a\}$ $[a ,\infty )$
$\{x:x> a\}$ $(a ,\infty )$

Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikan ketaksamaan, diantaranya yaitu:
  • Dengan menambahkan bilangan yang sama pada kedua pihak suatu ketaksamaan.
  • Dengan mengalikan kedua pihak suatu ketaksamaan dengan suatu bilangan positif.
  • Dengan mengalikan kedua pihak dengan suatu bilangan negatif , tetapi kemudian harus membalikkan arah tanda ketaksamaan.
Contoh:
  1. Selesaikan ketaksamaan $2x-7<4x-2$
    Jawab
    \[\begin{align*} 2x-7 & <4x-2\\ 2x-7+7 & < 4x-2+7\\ 2x & < 4x+5\\ -4x+2x & < -4x+4x+5\\ -2x & < 5\\ x & >-\frac{5}{2} \end{align*}\] Sehingga $x$ yang memenuhi adalah $\{x:x>-\frac{5}{2}\}$
  2. Selesaikan $-5\leq 2x+6< 4$
    Jawab
    \[-5\leq 2x+6<4\\ -5-6\leq 2x+6-6<4-6\\ -11\leq 2x<-2\\ -\frac{11}{2}\leq x < -1 \] Sehingga $x$ yang memenuhi adalah $\{x:-\frac{11}{2}\leq x<-1\}$
  3. Selesaikanlah $3x^2-x-2>0$
    Jawab
    Kita tentukan telebih dahulu akar-akar dari persamaan soal, yaitu dengan menyamakan persamaan dengan nol. \[\begin{align*} 3x^2-x-2 & = 0\\ (x-1)(3x+2) & =0 \end{align*}\] Sehingga didapat $x_1=1$ dan $x_2=-\frac{2}{3}$. Kemudian, buat garis bilangan untuk membantu untuk menentukan nilai $x$ yang menjawab soal.
    bilangan riil dan ketaksamaan
    Sehingga didapat $x$ yang memenuhi adalah $(-\infty ,-\frac{2}{3})\cup (1,\infty )$

Berlangganan update artikel terbaru via email:

0 Response to "Bilangan Riil dan Ketaksamaan"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel