Metode Simplex Tabular Pemrograman Linear
Friday, July 19, 2019
Add Comment
Metode Simplex Dalam Bentuk Tabular Pada Pemrograman Linear
Untuk kesempatan kali ini, akan dijelaskan tentang
Metode Simplex dalam bentuk modular. Karena ada juga dengan dictionaries. Disini akan dipaparkan cara menggunakan metode ini dengan dua contoh yaitu pada masalah maksimasi dan minimasi. Berikut contohnya.
Contoh metode simplex dalam masalah makasimasi
\[\begin{align*} Maksimumkan \hspace{1cm}& Z=3x_1+2x_2\\ s.t \hspace{1cm} & x_1+2x_2\leq 6\\ & 2x_1+x_2\leq 8\\ & -x_1+x_2\leq 1\\ & x_2\leq 2\\ & x_1\geq 0\\ & x_2\geq 0 \end{align*}\] JawabUntuk menggunakan metode simplex, terlebih dahulu kita ubah persamaan pada kendala kedalam persamaan kanonik, yaitu dengan menambahkan variable slack. modelnya menjadi. \[\begin{align*} Maksimumkan \hspace{1cm} & Z=3x_1+2x_2\\ s.t \hspace{1cm} & x_1+2x_2 + x_3 = 6\\ & 2x_1+x_2 +x_4 = 8\\ & -x_1+x_2 +x_5 = 1\\ & x_2 +x_6 = 2\\ & x_1\geq 0\\ & x_2\geq 0\\ & x_3\geq 0\\ & x_4\geq 0\\ & x_5\geq 0\\ & x_6\geq 0\\ \end{align*}\] Catatan:
- Jika persamaan dalam kendala dalam bentuk $\geq$ maka persamaan tersebut ditambah variabel slack
Contoh: $x_1+x_2\geq 6$ maka persamaan kanoniknya menjadi $x_1+x_2+x_3= 6$ dengan $x_3$ merupakan variabel slack - Jika persamaan dalam kendala dalam bentuk $\leq$ maka persamaan tersebut dikurangi variabel slack
Contoh: $2x_1+x_2\leq 6$ maka persamaan kanoniknya menjadi $2x_1+x_2-x_3= 6$ dengan $x_3$ merupakan variabel slack - Jika bentuknya persamaan, maka diubah variabel yang paling belakang.
contoh: $x_1+x_2= 6$ maka $x_2$ diubah menjadi $x_2=x_3-x_4$. Sehingga persamaan kanoniknya menjadi $x_1+x_3-x_4= 6$ dengan $x_3$ dan $x_4$ merupakan variabel slack
Selanjutnya kita masuk ke tabularnya.
Tabel 1 |
- Untuk $\hat{C}_1$ \[\hat{C}_1=C_1-[(C_b)(x_1)]=3-[(\begin{matrix}0 & 0& 0& 0\end{matrix}) \left(\begin{matrix}1\\ 2\\ -1\\ 0 \end{matrix}\right)]=3\]
- Untuk $\hat{C}_2$ \[\hat{C}_2=C_2-[(C_b)(x_2)]=2-[(\begin{matrix}0 & 0& 0& 0\end{matrix}) \left(\begin{matrix}2\\ 1\\ 1\\ 1 \end{matrix}\right)]=2\]
- dan seterusnya perhitungan sampai $\hat{C}_6$ sama seperti perhitungan $\hat{C}_1$.
Untuk menentukan Entering variabel (kolom yang berwarna kuning)
- Untuk masalah Maksimasi. Pilih baris $\hat{C}_j$ yang berada pada variable non basis ($x_1$ dan $x_2$) yang paling besar.
- Untuk masalah Minimasi. Pilih baris $\hat{C}_j$ yang berada pada variable non basis ($x_1$ dan $x_2$) yang paling kecil.
Untuk menentukan Leaving variable (baris yang berwarna biru tua), Gunakan aturan rasio.
- Untuk masalah Maksimasi. Pilih rasio positif yang paling kecil.
- Untuk masalah Minimasi. Pilih rasio positif yang paling besar.
dimana rumus untuk menentukan rasio adalah \[Rasio-ke-j=konstanta-ke-j\times nilai-ke-j-pada-kolom-entering-variabel\] Misalkan kita hitung rasio untuk baris $x_3$ yaitu $\frac{6}{1}=6$ dan seterusnya. Karena rasio positif yang paling kecil berada pada baris $x_4$, maka baris tersebut menjadi leaving variabel. Lihat Tabel 2.
Tabel 2 |
Selanjutnya, jadikan samadengan nol semua nilai yang berada pada kolom entering variabel (lihat kolom $x_1$ pada Tabel 2), bagaimana caranya? yaitu dengan mengeliminasi baris tersebut dengan baris huruf berwarna merah pada. Misalkan
baris $x_3$ pada Tabel 3 didapat dari baris_pertama_$x_3$_Tabel_2 dikurangi baris_kedua_$x_1$_yang_berwarna_merah.
Begitupun dengan baris-baris berikutnya.sehingga didapat
Selanjutnya menghitung nilai $Z$, Baris $\hat{C}_j$.
\[Z=(C_b)(Konstanta)=(\begin{matrix} 0 & 3& 0& 0 \end{matrix}) \left( \begin{matrix} 2\\ 4\\ 5\\ 2 \end{matrix}\right)=12\]
Baris $\hat{C}_j$
- Untuk $\hat{C}_1$ \[\hat{C}_1=C_1-[(C_b)(x_1)]=3-[(\begin{matrix}0 & 3& 0& 0\end{matrix}) \left(\begin{matrix}0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{matrix}\right)]=0\]
- Untuk $\hat{C}_2$ \[\hat{C}_2=C_2-[(C_b)(x_2)]=2-[(\begin{matrix}0 & 3& 0& 0\end{matrix}) \left(\begin{matrix}1.5\\ 0.5\\ 1.5\\ 1 \end{matrix}\right)]=0.5\]
- dan seterusnya perhitungan sampai $\hat{C}_6$ sama seperti perhitungan $\hat{C}_1$.
Sehingga didapat
Langkah selanjutnya adalah memilih entering variabel dan leaving variabel dengan cara yang sama dengan cara sebelumnya. Sehingga didapat (Kolol kuning adalah entering variabel, baris biru tua adalah leaving variabel)
Tabel 3 |
Tabel 4 |
Contoh metode simplex dalam masalah minimasi
\[\begin{align*} Minimumkan \hspace{1cm} & Z = 4x_1+x_2\\ s.t \hspace{1cm} & 3x_1+x_2\geq 3\\ & 4x_1+3x_2\geq 6\\ & x_1+2x_2\leq 4\\ &x_1\geq 0\\ &x_2\geq 0 \end{align*}\] JawabUntuk menggunakan metode simplex, terlebih dahulu kita ubah persamaan pada kendala kedalam persamaan kanonik, yaitu dengan menambahkan variable slack. modelnya menjadi. \[\begin{align*} Minimumkan \hspace{1cm} & Z = 4x_1+x_2\\ s.t \hspace{1cm} & 3x_1+x_2 - x_3 = 3\\ & 4x_1+3x_2 - x_4 = 6\\ & x_1+2x_2+x_5 = 4\\ &x_1\geq 0\\ &x_2\geq 0\\ &x_3\geq 0\\ &x_4\geq 0\\ &x_5\geq 0 \end{align*}\]
Kemudian kita siapkan Tabelnya karena kita akan menggunakan metode simplex dalam bentuk tabel.
Berikut tabelnya
Tabel 5 |
Langkah selanjutnya yaitu menentukan entering variabel. Karena ini masalah Minimasi, maka lihat pada Baris $\hat{C}_j$ yang nilainya yang paling kecil. Jadi yang dipilih adalah kolom $x_2$. Kemudian untuk menentukan leaving variabel, hitung terlebih dahulu rasionya. Rumus menghitung rasio, sama dengan menhitung rasio pada masalah Maksimasi.Tetapi pada masalah Minimasi, pilihlah rasio yang paling besar. Sehingga didapat seperti berikut
Tabel 6 |
Tabel 7 |
Tabel 8 |
Cukup sekian dulu artikel ini. Semoga bermanfaat. Terimakasih telah membaca. Bagi teman-teman yang ingin membaca artikel yang berhubungan dengan kesehatan, bisa baca disini.
0 Response to "Metode Simplex Tabular Pemrograman Linear"
Post a Comment