Peluang Bagian 2

Peluang Bagian 2

Peluang yoalearn.site

Jika setiap anggota dari himpunan $C_1$ adalah anggota himpunan $C_2$ maka himpunan $C_1$ disebut himpunan bagian $C_2$ dinotasikan dengan: $C_1\subset C_2$. Jika himpunan $C$ tidak mempunyai anggota, maka $C$ dikatakan himpunan kosong : $C=\emptyset $. Gabungan himpunan $C_1$ dan $C_2$ adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota dari himpunan $C_1$ dan atau himpunan $C_2$ : $C_1\cup C_2$. Irisan $C_1$ dan $C_2$ adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota $C_1$ juga $C_2$ : $C_1\cap C_2$. Komplemen dari $C$ adalah semua elemen yang bukan anggota dari $C$.


Fungsi Peluang

Contoh1:
Misalkan $A$ adalah himpunan berdimensi satu, $Q(A)$ adalah sebuah fungsi dari himpunan dimana \[Q(A)=\sum_{A}f(x)\] dan \[f(x)= \left\{ \begin{matrix} (\frac{1}{2})^x, & x=1,2,3,...\\ 0 & x \hspace{0.2cm}yang\hspace{0.2cm} lain\\ \end{matrix} \right.\]
Jika $A=\{x;0\leq x\leq 3\}$ Maka \[Q(A)=\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^3=\frac{7}{8}\] Jika $Q(A)=\int_{A}e^{-x}dx$ dan $A=\{x;0\leq x\leq \infty\}$ maka \[Q(A)=\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx=1\] Jika $Q(A)=\int_{A}e^{-x}dx$ dan $A=\{x;1\leq x\leq 2\}$ maka \[Q(A)=\int_{1}^{2}e^{-x}dx=e^{-1}-e^{-2}\] Jika $Q(A)=\int_{A}e^{-x}dx$ dan $A_1=\{x;0\leq x\leq 1\}$ dan $A_2=\{x;1\leq x\leq 2\}$ maka \[\begin{align*}Q(A_1\cup A_2 ) &=\int_{0}^{2}e^{-x}dx\\ &=\int_{0}^{1}e^{-x}dx+\int_{1}^{2}e^{-x}dx\\ &=Q(A_1)+Q(A_2)\end{align*}\] Jika $Q(A)=\int_{A}e^{-x}dx$ dan $A_1=\{x;0\leq x\leq 2\}$ dan $A_2=\{x;1\leq x\leq 3\}$ maka \[\begin{align*}Q(A_1\cup A_2)& =\int_{0}^{2}e^{-x}dx\\ &=\int_{0}^{2}e^{-x}dx+\int_{1}^{3}e^{-x}dx-\int_{1}^{2}e^{-x}dx\\ &=Q(A_1)+Q(A_2)-Q(A_1\cap A_2)\end{align*}\]

Soal dan Jawaban

Soal

  • Untuk setap himpunan $A$ yang berdimensi satu dan integralnya ada, misalkan \[Q(A)=\int_{A}f(x)dx\] dengan fungsi \[f(x)=\left\{ \begin{matrix} 6x(1-x) & 0< x <0.75\\ 0 & untuk x lainnya\\ \end{matrix} \right.\] $Q(A_1)$, $Q(A_2)$ dan $Q(A_3)$
  • Untuk setiap himpunan $A$ yang berdimensi satu, jika $Q(A)$ adalah bilangan bulat positif, dan $A_1=\{$ $x;x$ adalah bilangan kelipatan tiga yang kurang dari 50$\}$ dan $A_2=\{$ $x;x$ adalah bilangan kelipatan 7 yang kurang dari 50 $\}$. Tentukan
    1. $Q(A_1)$ dan $Q(A_2)$
    2. $Q(A_1\cup A_2)$
    3. $Q(A_1)\cap A_2)$
    4. Perlihatkan bahwa $Q(A_1\cup A_2)=Q(A_1)+Q(A_2)-Q(A_1\cap A_2)$
Peluang yoalearn.site


Peluang Himpunan

Definisi:
Jika $C$ adalah ruang sampel dan $c$ adalah himpunan bagian dari $C$, dan jika:
  1. $P(C)\geq 0$
  2. $P(C_1\cup C_2\cup C_3\cup ...)=P(C_1)+P(C_2)+P(C_3)+...$
    dimana himpunan $C_i,i=1,2,3,...$, tidak saling beririsan.
  3. $P(C)=1$
Maka $P(C)$ adalah peluang himpunan $C$ atau peluang kejadian $C$.


Teorema
  1. Untuk setiap $C$ yang merupakan himpunan bagian dari $C$, $P(C)=1-P(C^c)$

    Bukti

    $\hat{C} =C\cup C^c$ dan $C\cap C^c = \emptyset$
    \[\begin{align*} P(\hat{C} )=P(C)+P(C^c) & \rightarrow P(C)=P(\hat{C} )-P(C^c)\\ & \rightarrow P(C)=1-P(C^c) \end{align*}\]
  2. Peluang dari himpunan kosong, yaitu $P(\emptyset )=0$

    Bukti

    Jika $C=\emptyset $ maka $C^c=\hat{C} $ sehingga \[P(\emptyset)=1-P(\hat{C} )=1-1=0\]
  3. Jika $C_1$ dan $C_2$ adalah himpunan bagian dari $\hat{C}$ sedemikian sehingga $C_1\subset C_2$, maka $P(C_1)\leq P(C_2)$.

    Bukti

    $C_2=C_1\cup (C_1^c \cap C_2)$ dan $C_1\cap (C_1^c\cap C_2)=\emptyset$ maka \[P(C_1)\leq P(C_2)\]
  4. Untuk setiap $C\subset \hat{C} ,\hspace{0.5cm}0\leq P(C)\leq 1$
  5. Jika $C_1$ dan $C_2$ adalah himpunan bagian dari $\hat{C} $ maka \[P(C_1\cup C_2)=P(C_1)+P(C_2)-P(C_1\cap C_2)\]
  6. Jika $C_1$ dan $C_2$ himpunan bagian dari yang saling bebas (tidak saling beririsan), maka \[P(C_1\cap C_2)=P(C_1).P(C_2)\]

Contoh

Misalkan dua koin di toss bersamaan satu kali. Peristiwa yang mungkin terjadi merupakan pasangan terurut dari munculnya permukaan. Ruang sampel untuk tindakan ini adalah: \[\hat{C} =\{c;c=(M,M),(M,B),(B,M),(B,B)\}\] Masing-masing peluang untuk peristiwa yang terjadi adalah : $\frac{1}{4}$.
Misalkan $C_1=\{c;c=(M,M),(M,B)\}$ dan $C_2=\{c;c=(M,M),(B,M)\}$
Maka
  1. $P(C_1)=\frac{Banyak kejadian C_1}{Banyak semua kejadian}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
  2. $P(C_2)=\frac{Banyak kejadian C_2}{Banyak semua kejadian}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
  3. $P(C_1\cap C_2)=P(C_1).P(C_2)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
  4. $P(C_1\cup C_2)=P(C_1)+P(C_2)-P(C_1\cap C_2)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

Berlangganan update artikel terbaru via email:

0 Response to "Peluang Bagian 2"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel