Pendahuluan Persamaan Differensial Biasa

Pendahuluan Persamaan Differensial Biasa

pendahuluan persamaan differensial biasa
Persamaan differensial adalah persamaan yang didalamnya memuat turunan. Pada kesempatan kali ini, saya akan membahas pendahuluannya terlebih dahulu ya. Dimana artikel ini saya beri judul "Pendahuluan Persamaan Differensial Biasa". Tentunya teman-teman yang berada di bangku sekolah menengah dan universitas akan mendapatkan materi ini.

Materi yang akan dibahas pada artikel ini adalah definisi-definisi, dan sedikit ulasan tentang penerapannya. Kemudian buku yang saya pakai adalah buku yang digunakan sewaktu saya kuliah, yaitu Ordinary differential equations with modern application karys Finizio - Ladas. Ditambah dengan catatan sewaktu saya kuliah juga sich hehe. Ok langsung saja ke materi ya.

Definisi-Definisi pendahuluan persamaan differensial biasa yang digunakan.

Definisi 1
9n Suatu persamaan differensial biasa orde $n$ adalah [suatu persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk \[y^{(n)}=F(x,y,y',y'',...,y^{(n-1)})\] dimana $y,y',....,y^{(n)}$ ditentukan nilainya oleh $x$.
Definisi 2
Suatu penyelesaian persamaan differensial biasa \[y^{(n)}=F(x,y,y',y'',...,y^{(n-1)})\] adalah suatu fungsi $y(x)$ yang ditentukan pada suatu selang bagian $J\subset I$ yang secara identik memenuhi persamaan tersebut pada seluruh selang $J$

Penerapan

Persamaan differensial digunakan dalam model matematika untuk menggambarkan kondisi nyata. Berikut contoh penerapannya dalam beberapa bidang.

Biologi

Tentunya anda mengenal hukum malthus mengenai perkembangan biologi. \[\frac{dN}{dt}=kN(t)\] dimana dimana $N(t)$ merupakan jumlah koloni pada saat $t$. Ini menyatakan bahwa jumlah koloni bertambah dengan seiringnya waktu $t$.

Fisika

Kecepatan dan percepatan merupakan hasil dari turunan dalam fisika. Kemudian kemiringan dalam geometri juga merupakan hasil dari turunan.

Dan masih banyak lagi bidang yang dalam model matematikanya menggunakan persamaan differensial.

Beberapa persoalan

  1. Tentukan apakah $y=e^x+3e^{(-x)}$ adalah suatu penyelesaian persamaan differensial $y''-y=0$.
    Jawab
    Untuk mengetahui apakah solusi yang dimaksud sesuai dengan permasalahan yang ada, kita turunkan solusi sesuai dengan persamaan differensial yang ada.
    \[\begin{align*} y(x) = & e^x+3e^{(-x)}\\ y'(x) = & e^x-3e^{(-x)}\\ y''(x) = & e^x+3e^{(-x)}\\ \end{align*}\] Ingat bahwa turunan pertama dari $y=ae^{(bx)}=D_x(bx)ae^{(bx)}=bae^{(bx)}$. Kemudian kita substitusikan ke persamaan differensial yang ada dalam soal. \[\begin{align*} y'' - y & = e^x+3e^{(-x)}-(e^x+3e^{(-x)})\\ & = 0 \end{align*}\] Jadi benar bahwa $y=e^x+3e^{(-x)}$ merupakan solusi dari persamaan differensial $y''-y=0$.
  2. Buktikan bahwa $y=2x$ dan $y=2x-3$ merupakan solusi dari persamaan differensial $y''+y'=2$
    Jawab
    • Untuk $y=2x$. \[\begin{align*} y(x) & = 2x\\ y'(x) & = 2\\ y''(x) & = 0\\ \end{align*}\] Kemudian substitusikan pada $y''+y'$, maka \[\begin{align*} y'' + y' & = 0 + 2\\ & = 2 \end{align*}\] Terbukti bahwa $y=2x$ merupakan solusi dari $y''+y'=2$
    • Untuk $y=2x-3$. \[\begin{align*} y(x) & = 2x-3\\ y'(x) & = 2\\ y''(x) & = 0\\ \end{align*}\] Substitusikan ke $y''+y'$ maka didapat \[\begin{align*} y'' + y' & = 0 +2\\ & = 2 \end{align*}\] Terbukti bahwa $y=2x-3$ merupakan solusi dari $y''+y'=2$

Teorema 1 (Teorema Picard)

Masalah nilai awal $y'=F(x,y)$ dan $y(x_0)=y_0$. Misalkan fungsi-fungsi $F$ dan $\frac{\partia F}{\partial y}$ kontinu di dalam daerah persegi panjang \[R=\{(x,y): \begin{matrix} |x-x_0|\leq A\\ |y-y_0|\leq B\\ \end{matrix}\},A>0,B>0 \] yang melingkungi titik $(x_0,y_0)$, maka ada bilangan positif $h\leq A$ demikian sehingga masalah nilai awal mempunyai satu dan hanya satu penyelesaian dalam selang $|x-x_0|\leq h$
Cukup dulu pembahasannya ya. Nantikan kelanjutannya. Supaya tidak ketinggalan artikel dari yoaheal.com, subscribe blog yoaheal.com ya. Terimakasih

Berlangganan update artikel terbaru via email:

0 Response to "Pendahuluan Persamaan Differensial Biasa"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel