Matematika Dasar Teori dan Contoh

Matematika Dasar Teori dan Aplikasi Dalam Bidang Sosial dan Teknik

Matematika tentunya selalu dipelajari dalam berbagai jenjang pendidikan mulai dari taman kanak-kanak sampai perguruan tinggi. Hal yang akan dipelajari diawal pembelajaran pastinya matematika dasar, seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian (Biasanya dalam sistem bilangan real, jika mulai masuk SMA atau perguruan tinggi akan ditambahkan ke bilangan kompleks.). Hal-hal yang dasar inilah yang akan menunjang pembelajaran matematika selanjutnya.

Sistem Bilangan

Sistem bilangan yang akan dibahas adalah sistem bilangan real. Tentunya yang termasuk bilangan real yaitu"

Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang berbentuk \[\left\{\frac{m}{p}|m,p \in Z, p\neq 0\right\}\] $Z$ merupakan bilangan bulat.
- Bilangan Bulat: $...-2,-1,0,1,2,...$
- Bilangan bulat positif: $1,2,3,4,...$
- Bilangan bulat negatif: $...-3,-2,-1 $
Bilangan Irrasional
Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak bisa dibentuk dalam \[\left\{\frac{m}{p}|m,p \in Z, p\neq 0\right\}\] $Z$ merupakan bilangan bulat.

Operasi dasar dalam matematika

Hukum Komutatif
$a+b=b+a$
$a.b=b.a$
Hukum Asosiatif
$a+b+c=a+(b+c)=(a+b)+c$
$a.b.c=a(b.c)=(a.b)c$
Hukum Distributif
$a(b+c)=ab+ac$
Memiliki elemen Identitas
Terdapat dua bilangan riil yang berlainan yaitu 0 dan 1 yang memenuhi $x+0=x$ dan $x\times 1=1$
Memiliki Invers
Setiap bilangan $x$ mempunyai balikan aditif, $-x$, yang memenuhi $x+(-x)=0$. Juga setiap bilangan $x$ kecuali 0 memiliki balikan perkalian, $x^{-1}$, yang memenuhi $x\times x^{-1}=1$

Sifat-sifat urutan

Trikotomi
Jika $x$ dan $y$ adalah bilangan-bilangan, maka pasti satu di antara yang berikut berlaku: $x<y$ atau $x=y$ atau $x>y$.

Ketransitifan
$x<y$ dan $y<z$ maka $x<z$

Penambahan
$x<y$ maka $x+z<y+z$

Perkalian. Bilangan $z$ positif, $x<y$ maka $xy<yz$. Jika $z$ negatif, $x<y$ maka $xz>yz$.

Pangkat dan akar

Misalkan $a$ bilangan real dan $n$ bilangan bulat positif. $a^n$ adalah hasil kali bilangan $a$ sebanyak $n$ faktor, dapat ditulis $a^n=a\times a\times a\times ... \times a$ dengan $a$ sebagai basis bilangan pokok dan $n$ sebagai pangkat. Sedangakan akar bisa dianggap sebagai ekspresi lain dari perpangkatan hanya saja pangkatnya berupa pecahan. Misalkan akar pangkat $n$ dari $a$ dinotasikan sebagai $\sqrt[n]{a}$.

Sifat-sifat dari pangkat dan akar

$a\neq 0$ dan $a$ bilangan real maka $ a^0=1$
$a$ bilangan real maka $a^{-m}=\frac{1}{a^m}$
$a$ bilangan real dan $m,n$ bilangan positif maka $a^m\times a^n=a^{m+n}$
$a\neq 0$ dan $a$ bilangan real $m,n$ bilangan positif maka $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
$a\neq 0$, $a$ bilangan real dan $m,n$ bilangan positif maka $(a^m)^n=a^{mn}$
$a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n}$
$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$
$a^nb^n=(ab)^n$
$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$
$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$
$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
$r\sqrt[n]{(a^m)}\pm q\sqrt[n]{(a^m)}=(r\pm q)\sqrt[n]{(a^m)}$

Logaritma dan Eksponensial

Misalkan $a, b, c \in R$, $a>0$, dan $b > 0$ maka $^a\log b = c$ jika dan hanya jika $a^c = b$ dimana $a$ merupakan bilangan pokok.

Sifat-sifat logaritma

$^a\log a = 1$
$^a\log 1 = 0$
$^a\log a^n = n$
Untuk $a,b$ dan $c$ bilangan real positif, $a\neq 1$ dan $b>0$ berlaku $^a\log (b\times c) = ^a\log b + ^a\log c$
$^a\log b^c = c $ $^a\log b$
$^a\log \frac{b}{c} = ^a\log b -$ $^a\log c$
$^a\log b=\frac{1}{^b\log a} $ maka $^a\log b . ^b\log a = 1$
$^a\log b = \frac{^c\log b}{^c\log a}$
$^a\log b .$ $^b\log c= ^a\log c$
$^{a^m}\log b^n = \frac{n}{m}$ $^a\log b$
$a^{^a\log b}=b$

Persamaan dan Pertidaksamaan

Persamaan adalah bentuk pernyataan matematis yang menyatakan kesamaan nilai antara dua ekspresi aljabar yang dihubungkan dengan sama dengan. Sedangkan pertidaksamaan ditandai dengan (<), ($\leq$), (>) dan ($\geq$).

Sifat pertidaksamaan

$a$ >0 jika $a$ positif dan $a$ <0 jika $a$ negatif
$a$ >0 jika $-a$ <0 dan $a$ <0 jika $-a$ >0
$a < b$ dan $b < c$ maka $a < c$
$a < b$ maka $\forall$ $c$ berlaku $a+c < b+c$
$a < b$ dan $c < d$ maka $a+c < b+d$
$a < b$ dan $c > 0$ maka $ac < bc$
$a < b$ dan $c < 0$ maka $ac > bc$

Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikan ketaksamaan, diantaranya yaitu:

Dengan menambahkan bilangan yang sama pada kedua pihak suatu ketaksamaan.
Dengan mengalikan kedua pihak suatu ketaksamaan dengan suatu bilangan positif.
Dengan mengalikan kedua pihak dengan suatu bilangan negatif , tetapi kemudian harus membalikkan arah tanda ketaksamaan.
Pangkatkan kedua pihak
Akarkan kedua pihak

Persamaan Linear sederhana

Persamaan linear adalah persamaan yang hanya memiliki satu variabel dan berderajat satu. misalnya $2x+5=0$

Persamaan Linear berganda

Persamaan linear berganda yaitu persamaan berderajat satu yang memiliki dua variabel atau lebih. Misalnya $2x+2y+2z=0$

Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat dengan variabel x adalah \[ax^2+bx+c=0\] dengan $a, b, c$ merupakan bilangan rwal dan $a\neq 0$.
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan $ax^2+bx+c=0$, maka jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut berturut-turut adalah \[x_1+x_2=\frac{-b}{a}\hspace{0.2cm} dan\hspace{0.2cm} x_1x_2=\frac{c}{a}\] Diskriminan (D) persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ adalah \[D=b^2-4ac\] Cara menyelesaikan persamaan kuadrat dapat menggunakan cara sebagai berikut:
Metode faktorisasi:
Ubah terlebih dahulu persamaan ke bentuk umum persamaan kuadrat (sama dengankan nol)
Carilah dua bilangan yang hasil kalinya sama dengan $c$ dan hasil jumlahnya sama dengan $b$
Metode kuadratik
\[x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Contoh Soal

Tentukan nilai $p$ dan $q$ dari persamaan $p=15-q$ dan $p=0.5q+3$
Jawab
Diketahui $p=15-q$ dan $p=0.5q+3$
Ditanyakan nilai $p$ dan $q$
Misalkan menggunakan eliminasi. Yang akan dieliminasi pertama kali adalah variabel $p$. maka \[\begin{align*} p & =15-q\\ p & =3+0.5q\\ \_\_&\_\_\_\_\_\_\_\_\_-\\ 0 & =12 -1.5q\\ 1.5q &=12\\ q & =\frac{12}{1.5}\\ q & =8. \end{align*}\] Substitusikan $q=8$ ke persamaan $p=15-q$. Sehingga didapat \[\begin{align*} p &=15-q\\ &=15-8\\ &=7 \end{align*}\] Jadi nilai $p=7$ dan $q=8$
Tentukan hasil dari $\frac{a^3b^{-2}}{a^6b^{-4}}$
Jawab
\[\frac{a^3b^{-2}}{a^6b^{-4}}=a^{3-6}b^{-2-(-4)}=a^{-3}b^2\]
Hitunglah nilai $x$ jika $\log(4)+\log(x+3)=\log(x^2)$.
Jawab
\[\begin{align*} \log(4)+\log(x+3) &=\log(x^2)\\ \log(4(x+3)) &=\log(x^2)\\ 4(x+3) &=x^2\\ 0 &=x^2-4(x+3)\\ 0 &=x^2-4x-12\\ 0 &=(x-6)(x+2)\\ \end{align*}\] Sehingga nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=-2$ atau $x=6$.

Untuk lebih memahami materi ini, Coba kerjakan terlebih dahulu soal-soal disini.